Умение правильно вычислить, какие карты могут улучшить Вашу руку, и подсчитать математическое ожидание – одно из основных требований хорошей игры в Техасском Холдеме. Хотя вычисления, используемые для расчета математического ожидания, могут показаться новичку чересчур запутанными и пугающими, все совсем не так сложно, как кажется на первый взгляд. На самом деле, чтобы верно подсчитать математическое ожидание, Вам достаточно знать элементарную арифметику.
Почему расчет математического ожидания так важен в покере?


Все-таки почему в покере математическое ожидание имеет такое большое значение? Знать математическое ожидание очень важно, потому что только так Вы можете понять, выгодна для Вас ситуация или нет. Приведем пример:


Допустим, Вы с приятелем бросаете монетку, и он ставит 1:1, что при следующем броске выпадет «орел». Вы прекрасно знаете, что «орел» выпадает в 50% случаев, а в остальных случаях выпадает «решка». То есть приятель предлагает Вам равное пари, т.к. ни у кого из вас нет статистического преимущества.


И наоборот: допустим, Ваш приятель только что выиграл 500 долларов в онлайн-покер и у него полоса везения. Он предлагает Вам пари 2:1, что при следующем броске выпадет «орел». Вы примете такое пари? Надеемся, что да, т.к. шансы выпадения «орла» и «решки» по-прежнему 1:1, а он ставит 2:1. Ваш приятель надеется, что ему опять повезет, но если он будет играть с Вами довольно долго, то с такими ставками он вскоре окажется без последней рубашки.


Приведенный пример – это упрощенная версия того, что постоянно происходит в Техасском Холдеме. Выведем короткий принцип:


В покере существует два типа игроков. Игроки первого типа ставят на низкое математическое ожидание в надежде, что им повезет. Игроки второго типа выигрывают на высоком математическом ожидании, которое упускают игроки первого типа.


Математическое ожидание для отдельной руки и для всей раздачи: Hand Odds и Poker Odds


Математическое ожидание для отдельной руки в Техасском Холдеме – это вероятность составления хорошей комбинации. Например, если две Ваши карманные карты червонной масти, и на флопе пришли две карты той же масти, математическое ожидание для Вашей руки на составление флеша составляет 2:1. Это означает, что примерно из каждых 3-х раз, в которых Вы разыграете эту руку, один раз у Вас составится флеш. Если бы математическое ожидание для Вашей руки было 3:1, то флеш бы составлялся один раз из каждых 4-х случаев.


Математическое ожидание Х:1 ----> Вы составите комбинацию в 1-м из (Х+1) случаев


Математическое ожидание Х:1 ----> Ваши шансы составить комбинацию равны 1/Х+1


Пример: математическое ожидание 3:1 ----> ј = 25%-ый шанс составить комбинацию


Ниже приведен пример расчета математического ожидания для составления дро на ривере с указанным количеством карт, которые могут улучшить Вашу руку после флопа и терна, и примеры дро с указанным количеством карт.


Пример: если Ваши карманные карты – 2-2, и на флопе не пришло ни одной 2, математическое ожидание выпадения 2 на терне равно 22:1 (4%). Если и на терне не приходит 2, математическое ожидание выпадения 2 на ривере также равно 22:1 (4%). Однако совокупное математическое ожидание выпадения 2 на терне или ривере равно 12:1 (8%). Для удобства и точности математических вычислений берите в расчет только совокупное математическое ожидание (математическое ожидание для двух карт), когда Вы в ситуации возможного all-in.



Карты, к-е могут улучшить Вашу руку
Одна карта %
Две карты %
Математическое ожидание для одной карты
Математическое ожидание для двух карт
Тип дро


1
2%
4%
46
23
Бекдор-стрит или флеш (требует 2х карт)


2
4%
8%
22
12
Карманная пара для сета


3
7%
13%
14
7
Одна оверкарта


4
9%
17%
10
5
Односторонний стрит / 2 пары для фул-хауса


5
11%
20%
8
4
Пара для двух пар или сета


6
13%
24%
6.7
3.2
Непарные карты / Две оверкарты


7
15%
28%
5.6
2.6
Сет для фул-хауса или каре


8
17%
32%
4.7
2.2
Двусторонний стрит


9
19%
35%
4.1
1.9
Флеш


10
22%
38%
3.6
1.6
Односторонний стрит и 2 оверкарты


11
24%
42%
3.2
1.4
Двусторонний стрит и одна оверкарта


12
26%
45%
2.8
1.2
Флеш и односторонний стрит / Флеш и одна оверкарта


13
28%
48%
2.5
1.1



14
30%
51%
2.3
0.95



15
33%
54%
2.1
0.85
Флеш и двусторонний стрит / Флеш и две оверкарты


16
34%
57%
1.9
0.75



17
37%
60%
1.7
0.66




Примеры дро-рук после флопа



Дро
Рука
Флоп
Карты, к-е могут улучшить Вашу руку
К-во карт, к-е могут улучшить Вашу руку


Карманная пара для сета



2


Одна оверкарта



3


Односторонний стрит



4


2 пары для фул-хауса



4


Пара для двух пар или сета






5


Непарные карты для пары






6


Две оверкарты для овер-пары






6


Сет для фул-хауса или каре






7


Двусторонний стрит


любая 7, любая Q
8


Флеш


любая карта червей
9


«Дырявый» стрит и 2 оверкарты


любая 10,




10


Флеш и «дырявый» стрит


любая Q,
любая карта треф
12


Флеш и двусторонний стрит


любая карта червей, любая 8, любой К
13



Основные определения

Бекдор: стрит-дро или флеш-дро, при котором для составления комбинации необходимо 2 карты.
Ваши карманные карты A-K. На флопе пришли Т-2-5. Для составления стрита Вам нужно и J, и Q.
Overcard Draw: когда Ваша карманная карта старше карт на флопе.
У Вас А-3. На флопе пришли К-2-5. Чтобы составить топ-пару, Вам нужно чтобы пришел туз – оверкарта. Т.е. в колоде осталось 3 карты, которые могут улучшить Вашу руку.
«Дырявый» стрит-дро (или «Gutshot»): когда Вам необходима одна карта для составления комбинации.
Ваши карманные карты J-T. На флопе пришло A-K-5. Чтобы составить стрит, Вам нужна дама. Т.е. в колоде осталось 4 карты, которые могут улучшить Вашу руку.
Двусторонний стрит-дро: когда Вы можете составить стрит в двух направлениях.
Ваши карманные карты 5-6. На флопе пришло 7-8-А. Чтобы составить стрит, Вам нужна 4 или 9. Т.е. в колоде осталось 8 карт, которые могут улучшить Вашу руку.
Флеш-дро: когда у Вас 2 одномастные карты, и на флопе пришли 2 карты такой же масти.
Ваши карманные карты A♥-K♥. На флопе пришли 7♥-8♥-J♣. Чтобы составить флеш, Вам нужна любая червовая карта. Т.е. в колоде осталось 9 карт, которые могут улучшить Вашу руку.

Чтобы рассчитать математическое ожидание для Вашей руки, Вам в первую очередь необходимо знать, сколько в колоде осталось карт, которые могут её улучшить. Если Ваши карманные карты A♠-K♠, и на флопе пришли 2 пиковые карты, то в колоде осталось еще 9 пиковых карт (т.к. в колоде по 13 карт каждой масти). Это означает, что в колоде осталось 9 карт, при помощи которых Вы можете составить флеш – но это не обязательно лучшая рука! Обычно Вы хотите, чтобы при помощи карт, которые улучшают Вашу руку, у Вас составлялась лучшая рука данной раздачи – «конфетка», но это не всегда возможно.


Самые быстрые из вас уже думают: «А что если у кого-то из оппонентов среди карманных карт тоже есть пиковые? Разве это не уменьшает количество оставшихся в колоде карт, которые могут улучшить мою руку?» Ответ нет (и да!). Если Вы точно знаете, что у кого-то из оппонентов есть пиковая карта, тогда это необходимо учитывать при подсчете карт, которые могут улучшить Вашу руку. Однако в большинстве ситуаций Вы не знаете, какие карты у Ваших оппонентов, поэтому можете рассчитывать математическое ожидание, опираясь только на ту информацию, которая у Вас имеется. А это только информация о Ваших карманных картах и картах на столе. Так что, по сути, Вы производите вычисления, как если бы были единственным игроком за столом. В этом случае, в колоде остается 9 пиковых карт.


При подсчете аутов – карт, которые могут улучшить Вашу руку, - очень важно не ошибиться в расчете математического ожидания. Приведем пример ситуации, в которой у Вас и флеш-дро, и двусторонний стрит-дро.


Пример: Ваши карманные карты – J♦-T♦, на столе – 8♦-Q♦-K♠. Если придут девятка или туз, у Вас составится стрит (8 аутов), тогда как если придет любая бубновая карта, у Вас составится флеш (т.е. в колоде осталось 9 аутов). Однако в колоде остались A♦ и 9♦, и при подсчете аутов для стрита и флеша Вам важно не посчитать эти карты дважды. Таким образом, количество оставшихся в колоде карт, которые могут улучшить Вашу руку, равно 15 (8 карт + 9 карт – 2 карты), а не 17 (8 карт + 9 карт).


Кроме того, иногда аут не самом деле таковым не является, т.к. не улучшает Вашу руку. Допустим, Вы хотите составить двусторонний стрит-дро с двумя картами одной масти на столе. В такой ситуации, на первый взгляд, у Вас 8 аутов для стрита, но при 2х из этих аутов на столе окажутся 3 карты одной масти. То есть у Ваших оппонентов появляется возможность составить флеш. Таким образом, у Вас всего 6 аутов для составления стрита, который будет лучшей рукой.


Пример: Ваши карманные карты - J♠-8♣ (разномастные), и на флопе приходит 9♠-T♥-J♣ (так называемая «радуга» (rainbow) - все карты разных мастей). Для составления стрита Вам нужно, чтобы пришли Q или 7, т.е. у Вас по 4 аута на каждую карту – всего 8 аутов. Однако Вам нужно обратить внимание на то, что произойдет, если придет Q♥, потому что в этом случае на столе будут 9♠-T♥-J♣-Q♥. Это означает, что если у кого-то из Ваших оппонентов среди карманных карт есть К, то он составит лучший стрит – от короля, тогда как у Вас будет только второй лучший стрит – от дамы.


Поэтому единственная карта, которая действительно улучшает Вашу руку, - это 7, т.е. у Вас остается 4 аута, или эквивалент «дырявого» стрит-дро. Конечно, на самом деле совсем необязательно, что у кого-то из оппонентов окажется король (особенно если игроков за столом мало), однако при больших ставках это весьма рискованная для Вас ситуация.


Подсчет математического ожидания для Вашей руки (более сложный метод)


Теперь, когда Вы знаете, как правильно подсчитать количество аутов для Вашей руки, Вы можете вычислить процент вероятности составления комбинации на ривере. Вероятность легко рассчитать для одного отдельного случая – например, для карты, которая придет на ривере после терна. Для этого количество аутов надо просто разделить на общее количество оставшихся в колоде карт. Однако для 2-х карт (например, приходящих от флопа до ривера) расчеты немного сложнее. Для этого нужно исключить из расчетов вероятность, что одна и та же карта выпадет 2 раза, т.е. подсчитать эту вероятность и отнять от 100%. Ниже приведен пример того, как это сделать:


Число 47 обозначает количество карт, оставшихся в колоде после флопа (всего 52 карты, минус 2 Ваши карманные, минус 3 на флопе – в итоге остается 47 карт). Даже если формально в колоде остается не 47 карт, мы производим все вычисления так, как будто за столом играем только мы. Для примера приведем дро с двумя оверкартами, в котором по 3 аута для каждой овер-карты, т.е. всего 6 аутов для возможного составления топ-пары:


Однако обычно мы хотим видеть математическое ожидание для руки в виде пропорции (подробнее об этом после описания расчетов математического ожидания для пота). Формула для пересчета процентов в виде пропорции:


То есть, чтобы перевести 24% в вид пропорционального математического ожидания, которое мы сможем использовать, делаем следующее:


Подсчет математического ожидания для Вашей руки (более простой способ)


Теперь, когда Вы умеете правильно вычислить математическое ожидание для Вашей руки в Техасском Холдеме, мы покажем еще один способ этого действия – намного более простой:


После подсчета Ваших аутов просто умножьте их количество на 4, и Вы получите примерный процент вероятности составления комбинации для Вашей руки после флопа. Чтобы оценить процент на терне, умножьте количество аутов на 2. Для примера посмотрите на следующие цифры:


Примеры аутов и процентов из таблицы выше:



Кол-во аутов
Вероятность на терне и ривере
Шансы к банку
Вероятность на ривере (или только на терне)
Шансы к банку на ривере
Тип дро


4
16,5%
1:5
8,7%
1:10
Gut Shot / Full house


5
20,3%
1:4
11%
1:8
Пара до сета или двух пар


6
24,1%
1:3
13%
1:7
2 оверкарты


7
27,8%
1:2,5
15%
1:6
Сет до Quads или до Full house



Как Вы сами видите, этот способ подсчета процентной вероятности намного проще. А как перевести проценты в пропорцию? Это можно сделать по той же формуле, что и в первом способе:


Эту формулу можно немного видоизменить, чтобы Вам было легче ее воспринять:


Используя деление 100 на целое число процентов, например на 24%, мы сразу видим, что 100/24 примерно равно 4. Мы вычитаем 1 и получаем примерное математическое ожидание – около 3:1. Давайте рассмотрим этот способ на примере:

Ваши карманные карты: A♣-J♠

На флопе пришли: 5♣-T♦-K♦

Количество аутов: 4 дамы («дырявый» стрит) + 3 туза (оверкарты) - Q♦ и A♦ = 5 аутов

Процентная вероятность составления комбинации = 5 аутов х 4 = 20%

Математическое ожидание = (100 / 20) - 1

= 5 - 1

= 4:1

Математическое ожидание 4:1 означает, что Вы можете составить Вашу комбинацию однажды из каждых 5 раз. Если фраза «один из каждых 5 раз» Вам мало что говорит, вспомните о монетке, где математическое ожидание выпадения «орла» или «решки» равно 1:1. Вы выкидываете «орла» в 50% бросков, то есть в 1 из каждых 2 случаев выпадает «орел».

Математическое ожидание Х:1 ----> Вы составите комбинацию в 1-м из (Х+1) случаев


Математическое ожидание для пота


Теперь, когда Вы умеете рассчитывать математическое ожидание для Вашей руки, Вы, возможно, уже задумываетесь – «а зачем мне это нужно?» Это хороший вопрос – и именно сейчас мы поговорим о расчете математического ожидания для пота.


Математическое ожидание для пота – это отношение общей суммы денег в поте к стоимости одного колла. Если в поте 100 долларов, и стоимость одного колла равна 10 долларам, математическое ожидание для пота равно 100:10 или 10:1. Если в поте 50 долларов, а колл стоит 10 долларов, то математическое ожидание равно 5:1. Чем больше это отношение, тем лучше Ваше математическое ожидание для пота.


Математическое ожидание для пота равно Х:1 ---> Ваша рука должна выиграть 1 раз из Х+1 раз, чтобы Вы ничего не проиграли


Расчет математического ожидания для пота очень полезен для понимания, сколько раз Вам нужно выиграть, чтобы ничего не проиграть. Если в поте 100 долларов, и стоимость одного колла равна 10 долларам, то чтобы ничего не проиграть, Вы должны выиграть один раз из 11. Если подробнее, то рассуждения таковы: если Вы сыграете 11 раз, это будет стоить Вам 110 долларов, но если Вы выиграете хотя бы один раз, Вы получите 110 долларов (100 долларов в поте + Ваш колл 10 долларов).


Польза подсчета математического ожидания для Вашей руки и для пота становится очевидной, когда Вы начинаете использовать и то, и другое вместе. Как мы уже знаем, при флеш-дро шансы Вашей руки на составление флеша равны 1,9:1. Допустим, у Вас рука с потенциально лучшим флеш-дро, и стоимость колла на флопе составляет 5 долларов. Вы будете коллировать? В ответ Вы должны спросить: «А каково математическое ожидание для пота?»


Если в поте 15 долларов + 5 долларов бета от Вашего оппонента, то получается, что Ваше математическое ожидание для пота равно 20:5 или 4:1. Это означает, что, чтобы ничего не проиграть, Вы должны выиграть 1 раз из 5. Однако, согласно математическому ожиданию для Вашего флеш-дро, Вы будете выигрывать 1 раз из каждых 3-х раз! Вы должны сразу же понять, что в перспективе Вы не только ничего не проиграете, но и получите неплохую прибыль. Давайте подсчитаем размер прибыли, теоретически разыгрывая эту руку 100 раз, начиная с флопа и заканчивая чеком на ривере.

Общая стоимость игры = 100 раздач по $5 за колл = - $500
Размер пота = $15 + $5 (бет) + $5 (колл)
Математическое ожидание для руки = 1,9:1 или 35% (начиная с флопа)
Общее количество выигранных раздач = 100 * на математическое ожидание (35%) = 35 раз
Общая прибыль = общая стоимость игры + (общее количество выигранных раздач * на размер пота)
= - $500 + (35 * $25)
= - $500 + $875
= $375 прибыли

Как Вы сами видите, у Вас есть все основания разыграть это флеш-дро, т.к. в соответствии с математическим ожиданием для руки и для пота, в конце концов Вы получаете прибыль. Основной принцип, который следует отсюда вывести:
Если математическое ожидание для пота выше, чем математическое ожидание для Вашей руки, то в итоге Вы остаетесь в плюсе.
Даже если у Вас будет «дырявый» стрит-дро – очень неприятное дро с математическим ожиданием всего 5:1 – Вам, возможно, нужно коллировать, если математическое ожидание для пота выше, чем 5:1. Однако иногда, даже если у Вас отличное дро (например, флеш-дро), но оппонент сделал большой бет, и Ваше математическое ожидание для пота равно 1:1, то очевидно, что Вам не нужно пытаться составить флеш, т.к. в итоге Вы проиграете. В этой ситуации фолд или полублеф – это для Вас единственный выход, если нет игроков, которые будут коллировать после Вас и улучшат Ваше математическое ожидание для пота.


Ваша способность запоминать и рассчитывать математическое ожидание для руки и для пота поможет Вам принимать верные решения в будущем; просто твердо запомните основной принцип прибыльности игры: Ваше математическое ожидание для пота должно быть выше, чем математическое ожидание для руки.


Математическое ожидание от флопа до терна и от терна до ривера.


Есть одно очень важное замечание, которое необходимо сделать: многие игроки, понимающие, что такое математическое ожидание в Техасском Холдеме, забывают, что большинством теоретических расчетов математического ожидания от флопа до ривера предполагается, что на терне никто не делает бетов. И так как для флеш-дро математическое ожидание на составление флеша равно 1,9:1, Вы можете сделать колл размером только 1,9:1 относительно пота на флопе и при условии, что оппонент позволит Вам за один колл остаться на терн и на ривер. К сожалению, в большинстве случаев такого не происходит, поэтому Вы должны рассчитывать математическое ожидание пота не для всей раздачи от флопа до ривера, а для каждой карты в отдельности.


Чтобы рассчитать математическое ожидание пота для каждой карты, просто используйте математическое ожидание, которое получается у Вас от терна до ривера. Например, если математическое ожидание на составление флеша от терна до ривера равно 4:1, то математическое ожидание на составление флеша от флопа до терна также равно 4:1.


В качестве иллюстрации приведем пример расчета математического ожидания для пота, который отражает довольно частый (хотя и неверный) ход мыслей:


Пример неверного расчета математического ожидания для пота

У Вас на руках: Флеш-дро
Флоп: $10 пота + $10 бета
Ваш колл: $10 (математическое ожидание равно 2:1)
Терн: $30 пота + $10 бета
Ваш колл: $10 (математическое ожидание равно 4:1)

Результат после 100 таких раздач

Общая стоимость игры = 100 раздач * ($10 колл на флопе + $10 колл на терне) = $2000
Общий выигрыш = 100 раздач * шанс выигрыша 35% * $50 пота = $1750
Общий результат = $1750 (выигрыш) - $2000 (стоимость игры)
= - $250 прибыли
= - $2,5 прибыли за одну раздачу

Пример верного расчета математического ожидания для пота

У Вас на руках: Флеш-дро
Флоп: $30 пота + $10 бета
Ваш колл: $10 (математическое ожидание равно 4:1)
Терн: $50 пота + $16 бета
Ваш колл: $16 (математическое ожидание примерно равно 4:1)

Результат после 100 таких раздач

Общая стоимость игры = 100 раздач * ($10 колл на флопе + $16 колл на терне) = $2600
Общий выигрыш = 100 раздач * шанс выигрыша 35% * $82 пота = $2870
Общий результат = $2870 (выигрыш) - $2600 (стоимость игры)
= $270 прибыли
= $2,7 прибыль за одну раздачу

Как видно из этих вычислений, делать колл с флеш-дро при математическом ожидании для пота 2:1 невыгодно, если после флопа будут еще беты. В большинстве случаев, однако, может быть применено понятие «предполагаемой стоимости» (о нём подробнее поговорим позже), которое помогает выигрывать с флеш-дро и двусторонними стрит-дро даже при кажущемся «плохом» математическом ожидании. Наиболее осторожными Вам следует быть с долгосрочными дро: оверкартами, «дырявыми» стритами и сетами, составляемыми при участии Вашей карманной пары и карт на столе. Если Вы будете неверно рассчитывать математическое ожидание для таких дро (считать сразу от флопа до ривера), то в будущем будете за это сурово наказаны постоянными проигрышами.


Предполагаемая стоимость


Предполагаемая стоимость – хорошее понятие, позволяющее учитывать беты игроков после флопа. Если выше описано, как учитывать тот факт, что Ваш оппонент может сделать бет на терне, то предполагаемая стоимость чаще всего используется, когда Вы предполагаете, что Ваш оппонент коллирует на ривере. Допустим, например, у Вас опять флеш-дро и математическое ожидание для пота на терне равно 3:1. Зная, что математическое ожидание для пота должно быть не ниже 4:1, чтобы Ваш колл был выгоден, Вы решаете сбросить карты.


Да, но подождите! Здесь и появляется предполагаемая стоимость. Так, даже если математическое ожидание для пота на ривере равно 3:1, Вы с большой вероятностью можете предположить, что оппонент проколлит на ривере, если Вам придет карта для составления флеша. Это означает, что даже при том, что математическое ожидание для пота на ривере равно 3:1, так как Вы предполагаете, что оппонент коллирует Вашу ставку на ривере, ожидание для пота составит уже 4:1 – так что Вы можете коллировать на терне.


С практической точки зрения, предполагаемая стоимость означает, что Вы можете отнять один бет при расчете математического ожидания Вашего дро на терне, т.к. вероятно, что Ваши оппоненты коллируют хотя бы один бет. Если смотреть еще глубже, Вы можете использовать расчёт предполагаемой стоимости для разыгрывания некоторых дро, которые в большинстве случаев невыгодны, но на которых можно выиграть довольно значительную сумму, если они все-таки составляются. Например, можно при имидже тайтового игрока разыгрывать «дырявый» стрит-дро против другого тайтового игрока. Даже при том, что это ужасно плохая игра (и, надеемся, она не будет Вам дорого стоить), она может быть прибыльной, если Вы знаете, что оппонент будет проверять Вас бетом или рейзом, когда Вам придет карта для Вашего дро: он просто не поверит, что Вы разыгрываете «дырявый» стрит-дро. По ряду причин мы не рекомендуем постоянно пользоваться предполагаемой стоимостью и часто разыгрывать дро как в примере выше. Мы рассказали об этом понятии скорее для того, чтобы Вы могли заметить и понять подобную уловку в игре своих оппонентов.


Заключение


Умение правильно рассчитывать математическое ожидание для руки и пота – краеугольный камень в фундаменте игры будущего покерного про. Возможно, при первом прочтении этой статьи, многое осталось непонятным и слишком сложным. Не переживайте из-за этого, ведь все известные игроки в покер прошли через это. Просто начните играть, используя те знания, которые Вы приобрели, а на эту страницу возвращайтесь, как только будут появляться новые вопросы в расчёте математического ожидания. Постепенно, анализируя сыгранные руки, Вы убедитесь, что ничего особо сложного в данной статье не написано; надо лишь шаг за шагом пройти эту науку, закрепляя теорию на практике.